Tugas Matematika Ramadhan -Hana Fahira (15) X IPS 2

Daftar Isi:
1. Pengalaman matematika semester 2
2. Soal dan Pembahasan Trigonometri

Tugas Matematika

Assalamualaikum wr.wb.
Perkenalkan saya Hana Fahira, absen 15 dari X IPS 2.

Pada blog ini saya akan menceritakan pengalaman pembelajaran matematika saya selama semester ini (semester 2).

Selama semester 2 ini materi matematika yang paling saya ingat dan suka dari materi lainnya adalah tentang bab Trigonometri karena rumusnya yang walaupun mirip-mirip tapi mudah dihafal, juga konsepnya yang dapat diingat dan dipahami bila kita memang niat untuk belajar.

Sebagai murid kita dibiasakan atau menjadi terbiasa dengan mindset bahwa matematika itu tidak mudah, matematika itu sulit dan sebagainya. Hal seperti itulah yang menurut saya membuat kita (para murid) yang menjadi skeptis dan pesimis sebelum benar-benar mencoba untuk memahami dan berlatih persoalan matematika.

Oleh karena itu marilah kita mencoba merubah mindset diri masing-masing untuk menjadi lebih terbuka dengan hal baru, seperti materi atau persoalan matematika dan berlatih agar kita memiliki kepribadian yang optimis.

Begitulah pengalaman saya mengenai matematika di semester 2 sejauh ini. Untuk kedepannya semoga saya dapat lebih memahami dan semakin semangat dalam belajar matematika lagi.

Terimakasih

Nama : Hana Fahira

Kelas  : X IPS 2

Absen : 15

5 Mei 2020

SOAL DAN PEMBAHASAN TRIGONOMETRI

3.7 Menyelesaikan cara merubah satuan pengukuran sudut trigonometri radian ke                      derajat,derajat ke radian

Konversi derajat ke radian x

rad=x⋅180∘πxrad=x⋅180∘π

Contoh 1

Ubahlah  sudut-sudut berikut dalam derajat

a.  π3π3 rad = ... °

b.  4π rad = ... °

 Jawab :

a.  π3π3 rad  =  π3π3 . 180∘π180∘π  =  60°

b.  4π rad  =  4π . 180∘π180∘π  =  720°

Konversi Derajat ke Radian

x∘=x⋅π180radx∘=x⋅π180rad

Contoh 2 

Ubahlah sudut-sudut berikut dalam radian

a. 30° = ... rad

b. 270° = ... rad

Jawab :

a.  30°  =  30 . π180π180 rad  =  π6π6 rad

b.  270°  =  270 . π180π180 rad  =  3π23π2 rad

3.7 Menyelesaikan rasio trigonometri (sinus, cosinus, tangen, cosecan, secan, dan cotangen) pada segitiga siku-siku dan sudut istimewa (60⁰ , 30⁰ , 45⁰ )

Soal 1

Besar sudut yang sesuai dengan gambar di bawah adalah ⋯⋅⋯⋅

Sudut yang terbentuk searah dengan jarum jam, sehingga tandanya negatif, yakni −30∘−30∘.

Karena satu putaran sama dengan 360∘360∘, maka −30∘−30∘ sama dengan (360−30)∘=330∘(360−30)∘=330∘

Jadi,besarsudutnya adalah 330∘330∘

Soal 2

Perhatikan  gambar di bawah ini.

Segitiga ABCABC siku-siku di CC. Pernyataan berikut ini benar, kecuali ⋯⋅⋯⋅
A. sinα=BCABsin⁡α=BCAB                D. cosβ=BCACcos⁡β=BCAC
B. sinβ=ACABsin⁡β=ACAB                 E. tanα=BCACtan⁡α=BCAC
C. cosα=ACAB

Berdasarkan gambar di atas, perbandingan trigonometri untuk sinus, cosinus, dan tangen dari sudut αα dan ββ adalah sebagai berikut.

sinα=demi=BCABcosα=sami=ACABtanα=desa=BCACsinβ=demi=ACABcosβ=sami=BCABtanβ=desa=ACBCsin⁡α=demi=BCABcos⁡α=sami=ACABtan⁡α=desa=BCACsin⁡β=demi=ACABcos⁡β=sami=BCABtan⁡β=desa=ACBC

Jadi, dari kelima pernyataan (pilihan) yang diberikan, pernyataan yang salah ada pada pilihan jawaban D.

Soal Nomor 3
Perhatikan gambar berikut!

Nilai cosαcos⁡α adalah ⋯⋅⋯⋅

Dengan Teorema Pythagoras, panjang c=ABc=AB dapat ditentukan sebagai berikut.
c=√a2+b2=√(√3)2+12=√4=2c=a2+b2=(3)2+12=4=2
Cosinus sudut adalah perbandingan antara panjang sisi samping sudut terhadap hipotenusa (sisi miring) segitiga siku-siku.
Untuk itu,
cosα=bc=12cos⁡α=bc=12

3.8 Menyelesaikan rasio trigonometri untuk sudut-sudut di berbagai kuadran

Contoh Soal 1

Untuk perbandingan trigonometri berikut, nyatakanlah dalam perbandingan trigonometri sudut komplemennya

sin 20°

tan 40°

cos 53°

Jawab :

sin 20° = sin (90° − 70°)

= cos 70°

tan 40° = tan (90° − 50°)

= cot 50

cos 53° = cos (90° − 37°)

= sin 37°

Jika diperhatikan pada sin yang berubah menjadi cos, kemudian tan berubah jadi cot sedangkan cos berubah menjadi sin karena relasi yang dipaka adalah (90° − α) dan ketiga perbandingan trigonometri bernilai positif, karena sudut 20°, 40° dan 53° berada di kuadran I.

Contoh Soal 2

Nyatakan tiap perbandingan trigonometri berikut di dalam sudut 37° !

tan 143°

sin 233°

cos 323°

Jawab :

Sudut 143° adapada kuadran II, hingga tan 143° memiliki nilai negatif.

tan 143° = tan (180° − 37°)

= -tan 37°

Sudut 233° ada pada kuadran III, sehingga sinus memiliki nilai negatif.

sin 233° = sin (270° − 37°)

= -cos 37°

Perhatikan sin berubah menjadi cos dikarenakan relasi yang dipakai (270° − α)

Sudut 323° ada pada kuadran IV, hingga cosinus memiliki nilai positif.

cos 323° = cos (360° − 37°)

= cos 37°

^{3.8 Menyelesaikan soal cerita perbandingan trigonometri}

Soal Nomor 1
Seorang siswa akan mengukur tinggi pohon yang berjarak 4√343 m dari dirinya. Antara mata dengan puncak pohon tersebut terbentuk sudut elevasi 30∘30∘. Jika tinggi siswa tersebut terukur sampai mata adalah 1,61,6 m, berapakah tinggi pohon?

erhatikan sketsa gambar berikut.

Misalkan xx adalah tinggi pohon terhitung dari titik yang setara dengan mata siswa itu.
Dengan menggunakan konsep tangen, diperoleh
tan30∘=x4√3x=4√3×tan30∘=4√3×13√3=43×3=4 mtan⁡30∘=x43x=43×tan⁡30∘=43×133=43×3=4 m
Tinggi pohon (tt) didapat dari jumlah xx dengan tinggi siswa (yang terhitung sampai mata), yaitu
t=4+1,6=5,6 mt=4+1,6=5,6 m
Jadi, tinggi pohon tersebut adalah 5,6 meter5,6 meter

^{Soal Nomor 2
Seorang anak diminta untuk mengukur tinggi tiang listrik yang ada di depan sekolahnya dengan menggunakan klinometer. Pada posisi berdiri pertama dengan melihat ujung atas tiang listrik, terlihat klinometer menunjuk sudut 30∘30∘. Kemudian dia bergerak mendekati tiang listrik sejauh 1818 m dan terlihat klinometer menunjuk sudut 45∘45∘. Tinggi tiang listrik tersebut adalah ⋯⋅⋯⋅ m.}

<sup>Perhatikan sketsa gambar berikut.

Misalkan panjang AC=xAC=x dan AD=yAD=y.
Pada segitiga ADCADC, berlaku
tan45∘=ACAD1=xyx=ytan⁡45∘=ACAD1=xyx=y
Pada segitiga ABCABC, berlaku
tan30∘=ACAB13√3=xy+1813√3=xx+1813√3(x+18)=x(1−13√3)x=6√3x=6√31−13√3=18√33−√3x=18√33−√3×3+√33+√3x=18√3(3+√3)9−3x=3√3(3+√3)x=(9√3+9) mtan⁡30∘=ACAB133=xy+18133=xx+18133(x+18)=x(1−133)x=63x=631−133=1833−3x=1833−3×3+33+3x=183(3+3)9−3x=33(3+3)x=(93+9) m
Jadi, tinggi tiang listrik tersebut adalah (9√3+9)(93+9) meter</sup>

^{3.9 Menyelesaikan aturan sinus diketahui 2 sudut dan 1 sisi}

1. Andi sedang mengukur mainan segitiganya yang tiap sudutnya dikodekan dengan A, B, dan C, kemudian diketahui segitiga tersebut memiliki sudut A = 30º, sisi a = 6cm dan sisi b = 8cm. Hitung besar sudut B

Akan dicari besar sudut B

sin B = (b sin A)/a  

sin B = 8/6 sin 30̊

sin B = 2/3

B = arc sin B

B = arc sin (2/3)

B = 41,8̊

Jadi, besar sudut B adalah 41,8̊ atau 180̊ – 41,8̊ = 138,2̊

2. Sebuah segitiga ABC memiliki panjang AC = 4 cm. Jika besar ∠ ABC = 60o dan ∠BAC = 30o, maka panjang BC = … cm.

AC/sin ∠ABC = BC/sin∠BAC

4cm/sin 60 = BC/sin30

4cm/½√3 = BC/½

BC = ½ × 4cm/½√3

BC = 4cm/√3

BC = 4/3 √3 cm

Jadi, panjang BC adalah BC4/3 √3cm.

^{3.9 Menyelesaikan aturan sinus diketahui 1 sudut dan 2 sisi}

Contoh 1

Diketahui suatu taman di tengah kota berbentuk segitiga sembarang. Jika sudut apit sebesar 60^o dan dua sisi yang mengapitnya masing-masing panjangnya 18 meter dan 16 meter, maka luas taman tersebut adalah ….

Pembahasan:

Untuk menentukan luas segitiga sembarang yang diketahui panjang dua sisi dan sudut antara kedua sisi tersebut dapat memanfaatkan fungsi sinus.

   L=1/2 x 18 x 16 x sin 60

L=1/2 x 18 x 16 x ½ √3

L= 72√3m²

Contoh 2

Di sebuah museum terdapat miniatur piramida berbentuk limas segiempat beraturan. Dari data museum diketahui panjang rusuk tegak piramida 4 meter dan membentuk sudut 30^o di puncaknya. Luas satu sisi tegak piramida tersebut adalah ….

 

Pembahasan:

Perhatikan gambar di bawah!

Jadi, luas satu sisi tegak piramida tersebut adalah

L = ½ x 4 x 4 x sin 30

L = ½ x 4 x 4 x ½

L= 4m2 = 400 dm2

3.9 Menyelesaikan Luas segitiga jika diketahui: 1 sudut 2 sisi, 3 sisi, 2 sudut 1 sisi

      contoh 1

pada segitiga ABC diketahui panjang sisi b dan sisi c berturut-turut adalah 8 cm dan 10 cm jika sudut A adalah 37 derajat, maka tentukanlah luas segitiga tersebut..

pembahasan

Dik: b = 8 cm, c = 10 cm, A = 37 derajat

Dit: L = ...?

L = ½ bc sin A

L= ½ (8) (10) sin 37 derajat

L= 40(3/5)

L= 24 cm 

3.10 Menyelesaikan sudut elevasi, sudut depresi

Contoh :
1). Sebuah gedung yang tingginya 50 m dan terdapat sebuah bola di dekat gedung. Jika sudut depresi dari puncak gedung terhadap bola adalah 30∘,30∘, maka tentukan jarak bola ke dasar gedung?
Penyelesaian :
*). Ilustrasi gambar gedungnya

*). Menentukan jarak bola ke dasar gedung (nilai xx ).
Perhatikan segitiga ABC, yang ditanyakan nilai xx yang merupakan sisi samping, dan diketahui sisi didepan sudut, sehingga kita menggunakan tan.
tan∠BACtan30∘13–√x=desa=BCBA=50x=50x=503–√tan⁡∠BAC=desa=BCBAtan⁡30∘=50x13=50xx=503
Jadi, jarak bola ke dasar gedung adalah 503–√503 m .

2). Perhatikan gambar dibawah ini ,

Dua orang guru dengan tinggi badan yang sama yaitu 170 cm sedang berdiri memandang puncak tiang bendera di sekolahnya. Guru pertama berdiri tepat 10 m di depan guru kedua. Jika sudut elevasi guru pertama 60∘60∘ dan guru kedua 30∘30∘ maka dapatkah anda menghitung tinggi tiang bendera tersebut?
Penyelesaian :
*). Ilustrasi gambar

Misalkan panjang CD = BG = xx
*). Menentukan nilai xx
Segitiga ABG :
tan60∘=ABx→AB=xtan60∘→AB=3–√xtan⁡60∘=ABx→AB=xtan⁡60∘→AB=3x
Segitiga ABF , substitusi AB=3–√xAB=3x
tan30∘13–√3–√.3–√x3x2xx=ABBF=3–√xx+10=x+10=x+10=10=5tan⁡30∘=ABBF13=3xx+103.3x=x+103x=x+102x=10x=5
*). Menentukan tinggi tiang bendera (A)
AB=3–√x=3–√.5=53–√AB=3x=3.5=53
Jadi, tinggi tiang bendera adalah 53–√53 m .

3.10 Menyelesaikan fungsi trigonometri dengan menggunakan lingkaran satuan untuk menentukan periode maksimum dan minimum

Soal Nomor 1
Diketahui grafik fungsi y1=5sinxy1=5sin⁡x dan y2=sin5xy2=sin⁡5x. Pernyataan berikut yang benar adalah ⋯⋅⋯⋅
A. periode y1y1 = periode y2y2
B. amplitudo y1y1 = amplitudo y2y2
C. periode y1=15y1=15 kali periode y2y2
D. amplitudo y1=15y1=15 kali amplitudo y2y2
E. amplitudo y1=5y1=5 kali amplitudo y2

Pembahasan

Bentuk umum fungsi sinus tersebut adalah y=asinkxy=asin⁡kx.

Periode:

Periode y1=5sinxy1=5sin⁡x dengan k=1k=1 adalah P1=360∘1=360∘P1=360∘1=360∘, sedangkan periode y2=sin5xy2=sin⁡5x dengan k=5k=5 adalah P2=360∘5=72∘P2=360∘5=72∘.

Dapat disimpulkan bahwa periode y1y1 sama dengan 5 kali periode y2y2.

Amplitudo:

Amplitudo y1=5sinxy1=5sin⁡x dengan a=5a=5 adalah A1=|a|=|5|=5A1=|a|=|5|=5, sedangkan amplitudo y2=sin5xy2=sin⁡5x dengan a=1a=1 adalah A2=|a|=|1|=1A2=|a|=|1|=1. Dapat disimpulkan bahwa amplitudo y1y1 5 kali amplitudo y2y2.

Pernyataan yang benar ada pada pilihan E.

Soal Nomor 2

Grafik di atas adalah grafik fungsi ⋯⋅⋯⋅

Pembahasan 

Perhatikan sketsa gambar berikut.

dari grafik sinus yang memiliki bentuk umum f(x)=asinkxf(x)=asin⁡kx, kurva pada gambar tidak bergeser dan berawal dari titik (0,0)(0,0). Grafik juga menunjukkan bahwa nilai maksimum dan minimum fungsi adalah 44 dan −4−4, sehingga
a=N. Maksimum−N. Minimum2=4−(−4)2=4a=N. Maksimum−N. Minimum2=4−(−4)2=4

Pada saat nilai x=180∘x=180∘, fungsi kembali bernilai 00, lalu berulang kembali seperti sebelumnya, sehingga periodenya adalah 180∘180∘, dan akibatnya

k=360∘180∘=2k=360∘180∘=2

Jadi, rumus fungsi f(x)=4sin2xf(x)=4sin⁡2x dengan batas interval 0∘≤x≤270∘

Soal Nomor 3

Grafik fungsi berikut adalah sketsa grafik dari y=acoskxy=acos⁡kx. Nilai aa dan kk berturut-turut adalah ⋯⋅⋯⋅

Nilai aa ditentukan oleh nilai maksimum dan nilai minimum fungsi, yakni
a=N. Maksimum−N. Minimum2=2−(−2)2=2a=N. Maksimum−N. Minimum2=2−(−2)2=2
Grafik menunjukkan bahwa saat x=0x=0, nilai fungsinya −2−2, begitu juga saat x=2πx=2π. Ini berarti, periode grafiknya adalah 2π2π, sehingga dengan menggunakan rumus periode, diperoleh
2π=2πk⇔k=12π=2πk⇔k=1
Jadi, aa dan kk berturut-turut adalah a=−2a=−2 dan k=1k=1

Dalam sebuah segitiga ABC diketahui besar sudut B dan C berturut-turut yaitu 30o dan 37o. Jika panjang sisi di antara dua sudut tersebut yaitu 8 cm, maka tentukanlah luas segitiga tersebut.

Pembahasan :
Dik : B = 30o, C = 37o, a = 8 cm
Dit : L = .... ?

Langkah pertama kita tentukan besar sudut A :
⇒ A + B + C = 180o
⇒ A = 180o - (B + C)
⇒ A = 180o - (30o + 37o)
⇒ A = 180o - 67o
⇒ A = 113o

Berdasarkan rumus di atas :

⇒ L = a2 sin B sin C
2 sin A
⇒ L = 82 sin 30o sin 37o
2 sin 113o
⇒ L = 64 (0,5) (0,6)
2 (0,92)
⇒ L = 19,2
1,84
⇒ L = 10,42 cm

Jadi, luas segitiga tersebut yaitu 10,42 cm.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------
Dalam sebuah segitiga ABC diketahui besar sudut A dan C berturut-turut yaitu 53o dan 30o. Jika panjang sisi di hadapan sudut B yaitu 6 cm, maka tentukanlah luas segitiga tersebut.

Pembahasan :
Dik : A = 53o, C = 30o, b = 6 cm
Dit : L = .... ?

Langkah pertama kita tentukan besar sudut B :
⇒ A + B + C = 180o
⇒ B = 180o - (A + C)
⇒ B = 180o - (53o + 30o)
⇒ B = 180o - 83o
⇒ B = 97o

Berdasarkan rumus di atas :

⇒ L = b2 sin A sin C
2 sin B
⇒ L = 62 sin 53o sin 30o
2 sin 97o
⇒ L = 36 (0,8) (0,5)
2 (0,99)
⇒ L = 14,4
1,98
⇒ L = 7,27 cm2


Jadi, luas segitiga tersebut yaitu 7,27 cm2.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------
Diketahui sebuah segitiga PQR memiliki luas sebesar 96cm2. Jika panjang PR = 12cm dan besar ∠PRQ = 60o, tentukan panjang QR!

Pembahasan :

L = ½ × PR × QR × Sin ∠PRQ

96cm2 = ½ × 12cm × QR × Sin 60o

96cm2 = ½ × 12cm × QR × ½√3

96cm2 = 4√3cm × QR

QR = 96cm2 ÷ 4√3cm

QR = 24/√3 cm

QR = 8√3cm


Jadi, panjang QR adalah 8√3cm.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Mengubah atau Mengkonversi Koordinat Polar ke Koordinat Kartesius. Koordinat kartesius dari titik (10, 315°) adalah…
pembahasan :

» Sudut 315° (kuadran IV) —–> (x, -y)
» Dari pilihan jawaban di atas maka kemungkinan jawabannya D atau E
» (r, α) ——> (10, 315°)
x = 10 . cos 315°
x = 10 . ½√2
x = 5√2
y = 10 . sin 315°
y = 10 . -½√2
y = -5√2
Jadi koordinat kartesiusnya adalah (5√2, -5√2)

-------------------------------------------------------------------------------------------------------

Untuk koordinat kutub ke koordinat kartesius
Jika diketahui koordinat kutub (6√3, 60°), maka koordinat kartesiusnya adalah…
pembahasan :


koordinat kutub ⇒ koordinat kartesius
(r , α) ⇒ ( x , y )
r = 6√3 ;         α = 60°
(Karena α sudut di kuadran I, maka x positif f dan y positif)
x = r cos α
⇒ 6√3 x cos 60°
⇒ 6√3 x 1/2
⇒ 3√3
y = r sin α
⇒ 6√3 x sin 60°
⇒ 6√3 x 1/2 √3
⇒ 3 x 3
⇒ 9

sehingga koordinat kartesiusnya ialah ( 3√3 , 9)