SOAL DAN PEMBAHASAN TRIGONOMETRI
Nama : Hana Fahira
Kelas : X IPS 2
Absen : 15
SOAL DAN PEMBAHASAN TRIGONOMETRI
1. Diketahui sebuah segitiga PQR memiliki luas sebesar 96cm2. Jika panjang PR = 12cm dan besar ∠PRQ = 60o, tentukan panjang QR!
Pembahasan :
L = ½ × PR × QR × Sin ∠PRQ
96cm2 = ½ × 12cm × QR × Sin 60o
96cm2 = ½ × 12cm × QR × ½√3
96cm2 = 4√3cm × QR
QR = 96cm2 ÷ 4√3cm
QR = 24/√3 cm
QR = 8√3cm
Jadi, panjang QR adalah 8√3cm.
2. Dalam sebuah segitiga ABC diketahui besar sudut A dan C berturut-turut yaitu 53o dan 30o. Jika panjang sisi di hadapan sudut B yaitu 6 cm, maka tentukanlah luas segitiga tersebut.
Pembahasan :
Dik : A = 53o, C = 30o, b = 6 cm
Dit : L = .... ?
Langkah pertama kita tentukan besar sudut B :
⇒ A + B + C = 180o
⇒ B = 180o - (A + C)
⇒ B = 180o - (53o + 30o)
⇒ B = 180o - 83o
⇒ B = 97o
Berdasarkan rumus di atas :
⇒ L = b2 sin A sin C
2 sin B
⇒ L = 62 sin 53o sin 30o
2 sin 97o
⇒ L = 36 (0,8) (0,5)
2 (0,99)
⇒ L = 14,4
1,98
⇒ L = 7,27 cm2
Jadi, luas segitiga tersebut yaitu 7,27 cm2.
3. Dalam sebuah segitiga ABC diketahui besar sudut B dan C berturut-turut yaitu 30o dan 37o. Jika panjang sisi di antara dua sudut tersebut yaitu 8 cm, maka tentukanlah luas segitiga tersebut.
Pembahasan :
Dik : B = 30o, C = 37o, a = 8 cm
Dit : L = .... ?
Langkah pertama kita tentukan besar sudut A :
⇒ A + B + C = 180o
⇒ A = 180o - (B + C)
⇒ A = 180o - (30o + 37o)
⇒ A = 180o - 67o
⇒ A = 113o
Berdasarkan rumus di atas :
⇒ L = a2 sin B sin C
2 sin A
⇒ L = 82 sin 30o sin 37o
2 sin 113o
⇒ L = 64 (0,5) (0,6)
2 (0,92)
⇒ L = 19,2
1,84
⇒ L = 10,42 cm
Jadi, luas segitiga tersebut yaitu 10,42 cm.
4. Untuk koordinat kutub ke koordinat kartesius
Jika diketahui koordinat kutub (6√3, 60°), maka koordinat kartesiusnya adalah…
Pembahasan :
koordinat kutub ⇒ koordinat kartesius
(r , α) ⇒ ( x , y )
r = 6√3 ; α = 60°
(Karena α sudut di kuadran I, maka x positif f dan y positif)
x = r cos α
⇒ 6√3 x cos 60°
⇒ 6√3 x 1/2
⇒ 3√3
y = r sin α
⇒ 6√3 x sin 60°
⇒ 6√3 x 1/2 √3
⇒ 3 x 3
⇒ 9
sehingga koordinat kartesiusnya ialah ( 3√3 , 9)
5. Mengubah atau Mengkonversi Koordinat Polar ke Koordinat Kartesius. Koordinat kartesius dari titik (10, 315°) adalah…
Pembahasan :
» Sudut 315° (kuadran IV) —–> (x, -y)
» Dari pilihan jawaban di atas maka kemungkinan jawabannya D atau E
» (r, α) ——> (10, 315°)
x = 10 . cos 315°
x = 10 . ½√2
x = 5√2
y = 10 . sin 315°
y = 10 . -½√2
y = -5√2
Jadi koordinat kartesiusnya adalah (5√2, -5√2)
6. Diketahui segitiga abc dengan ab= 6 cm,ac= 8 cm sudut a= 150 derajat. Luas segitiga abc
Pembahasan :
L = ½.ab.ac.Sin a
L = ½.6.8.Sin 150°
L = 12 cm²
7. Nyatakan sudut 0,45 radian dan 0,89 radian ke dalam satuan derajat!
Pembahasan:
0,45 radian = 0,45 x 180°/π
0,45 radian = 25,80°
0,89 radian = 0,89 x 180°/π
0,89 radian = 51,02°
8. Budi melihat puncak menara dengan sudut elevasi 30°. Jika jarak antara Budi dan menara yang dilihatnya adalah 150 m dan tinggi Budi adalah 120 cm maka tinggi menara tersebut adalah …
Pembahasan
tan 30⁰ = \frac{x}{150}
\frac{1}{3} \sqrt{3} = \frac{x}{150}
x = \frac{1}{3} \sqrt{3} . 150
x = 50√3
Jadi tinggi menara adalah
= x + tinggi Budi
= 50√3 m + 120 cm
= 50√3 m + 1,2 m
= (50√3 + 1,2) m
9. Untuk perbandingan trigonometri berikut, nyatakanlah dalam perbandingan trigonometri sudut komplemennya
sin 50°tan 40°
cos 35°
Pembahasan :
sin 50° = sin (90° − 400°) = cos 40°
tan 40° = tan (90° − 50°) = cot 50°
cos 35° = cos (90° − 55°) = sin 55°
Ketiganya bernilai positif, karena sudut 50°, 40° dan 35° berada di kuadran I.
10. Tentukan nilai-nilai perbandingan trigonometri pada titik berikut: B(5, 12)
Pembahasan :
*). Menentukan jarak bola ke dasar gedung (nilai xx ).
Perhatikan segitiga ABC, yang ditanyakan nilai xx yang merupakan sisi samping, dan diketahui sisi didepan sudut, sehingga kita menggunakan tan.
tan∠BACtan30∘13–√x=desa=BCBA=50x=50x=503–√tan∠BAC=desa=BCBAtan30∘=50x13=50xx=503
Jadi, jarak bola ke dasar gedung adalah 503–√503 m .
Pembahasan:
dari grafik sinus yang memiliki bentuk umum f(x)=asinkxf(x)=asinkx, kurva pada gambar tidak bergeser dan berawal dari titik (0,0)(0,0). Grafik juga menunjukkan bahwa nilai maksimum dan minimum fungsi adalah 44 dan −4−4, sehingga
a=N. Maksimum−N. Minimum2=4−(−4)2=4a=N. Maksimum−N. Minimum2=4−(−4)2=4
Pembahasan:
B (5, 12)
r² = x² + y²
r² = 5² + 12²
r² = 25 + 144
r² = 169
r = √169
r = 13
Pembahasan:
Nilai perbandingan trigonometrinya adalah:
Nilai perbandingan trigonometrinya adalah:
Sin α = 12/13
Cos α = 5/13
Tan α = 12/5
Cosec α = 13/12
Sec α = 13/5
Cot α = 5/12
11. Nyatakan sudut-sudut berikut dalam satuan radian (rad):
a) 270°
b) 330°
Pembahasan:
Konversi:
1 π radian = 180°
Jadi:
a) 270°
= 270° x r/180°
= 3/2 r rad
b) 330°
= 330° x r/180°
= 11/6 r rad
12. Tentukan nilai dari sec 330° . tan 120° . sin 315°
Jawaban :
Kuadran 1 : nilai trigonometrinya positif semua
Kuadran 2 : hanya nilai sin α dan cosec α yang bernilai positif
=> (180° - α)
Kuadran 3 : hanya nilai tan α dan cot α yang bernilai positif
=> (180° + α)
Kuadran 4 : hanya nilai cos α dan sec α yang bernilai positif
=> (360° - α)
sec 330°
= sec (360° - 30°)
= sec 30°
= 1/(cos 30°)
= 1/(1/2 √3)
= 2/√3
= 2/√3 . √3/√3
= (2/3) √3
tan 120°
= tan (180° - 60°)
= - tan 60°
= - √3
sin 315°
= sin (360° - 45°)
= - sin 45°
= (-1/2) √2
sec 330° . tan 120° . sin 315°
= (2/3) √3 . - √3 . (-1/2) √2
= (2/3) . 3 . (1/2) √2
= 2 . (1/2) √2
= √2
Jadi, Nilai dari sec 330° . tan 120° . sin 315° ialah √2
13. Jika sin x = 4/5 dan 90<x<180 maka tan x° =....
Jawaban :
Nilai Fungsi
90 < x < 180 , x di kuadran ke II
sin x = 4/5
cos x = √(1 - sin² x) = √(1 - (4/5)²) = √(9/25) = +- 3/5
cos x di KD II, nilai negatif
cos x = - 3/5
tan x = sin x / cos x = (4/5)/(-3/5) = - 4/3
14. Diketahui perbandingan sisi-sisi segitiga ABC adalah 2:3:4. Nilai kosinus sudut terbesar adalah....
Pembahasan :
Sisi ABC , AB = 2x , BC = 3x , AC = 4x
Sudut terbesar didepan sisi terpanjang ,
sisi terpanjang = AC
sudut terbesar = < B
cos B = (AB² + BC² - AC²) / (2)(AB)(BC)
cos B = (2x)²+(3x)² -(4x)² / 2(2x)(3x)
cos B = (4+9 -16) x²/ (12) x²
cos B = (-3)/(12)
cos B = - 1/4
15. Dalam sebuah segitiga ABC diketahui besar sudut A dan C berturut-turut yaitu 53o dan 30o. Jika panjang sisi di hadapan sudut B yaitu 6 cm, maka tentukanlah luas segitiga tersebut.
Pembahasan :
Langkah pertama kita tentukan besar sudut B :
⇒ A + B + C = 180o
⇒ B = 180o - (A + C)
⇒ B = 180o - (53o + 30o)
⇒ B = 180o - 83o
⇒ B = 97o
Berdasarkan rumus di atas :
⇒ A + B + C = 180o
⇒ B = 180o - (A + C)
⇒ B = 180o - (53o + 30o)
⇒ B = 180o - 83o
⇒ B = 97o
Berdasarkan rumus di atas :
| ⇒ L = | b2 sin A sin C |
| 2 sin B |
| ⇒ L = | 62 sin 53o sin 30o |
| 2 sin 97o |
| ⇒ L = | 36 (0,8) (0,5) |
| 2 (0,99) |
| ⇒ L = | 14,4 |
| 1,98 |
⇒ L = 7,27 cm2
Jadi, luas segitiga tersebut yaitu 7,27 cm2.
Jadi, luas segitiga tersebut yaitu 7,27 cm2.
16. Diketahui suatu taman di tengah kota berbentuk segitiga sembarang.
Jika sudut apit sebesar 60o dan dua sisi yang mengapitnya masing-masing
panjangnya 18 meter dan 16 meter, maka luas taman tersebut adalah ….
Jika sudut apit sebesar 60o dan dua sisi yang mengapitnya masing-masing
panjangnya 18 meter dan 16 meter, maka luas taman tersebut adalah ….
Pembahasan:
Untuk menentukan luas segitiga sembarang yang diketahui panjang dua sisi dan sudut antara kedua sisi tersebut dapat memanfaatkan fungsi sinus.
![\[ L = \frac{1}{2} \times 18 \times 16 \times sin \; 60^{o} \]](https://idschool.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ac01cd707d0e045a1e210520eb819cf8_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[ L = \frac{1}{2} \times 18 \times 16 \times \frac{1}{2} \sqrt{3} \]](https://idschool.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-63d01e5d865aa1d109a909c153fab861_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[ L = 72 \sqrt{3} \; \textrm{m}^{2} \]](https://idschool.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-89d6405345ee8d8716bde9247e1a03c0_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Pembahasan:
Ilustrasi gambar gedungnya
Ilustrasi gambar gedungnya
*). Menentukan jarak bola ke dasar gedung (nilai xx ).
Perhatikan segitiga ABC, yang ditanyakan nilai xx yang merupakan sisi samping, dan diketahui sisi didepan sudut, sehingga kita menggunakan tan.
tan∠BACtan30∘13–√x=desa=BCBA=50x=50x=503–√tan∠BAC=desa=BCBAtan30∘=50x13=50xx=503
Jadi, jarak bola ke dasar gedung adalah 503–√503 m .
18. Grafik di atas adalah grafik fungsi ⋯⋅⋯⋅
Pembahasan:
Perhatikan sketsa gambar berikut.
dari grafik sinus yang memiliki bentuk umum f(x)=asinkxf(x)=asinkx, kurva pada gambar tidak bergeser dan berawal dari titik (0,0)(0,0). Grafik juga menunjukkan bahwa nilai maksimum dan minimum fungsi adalah 44 dan −4−4, sehinggaa=N. Maksimum−N. Minimum2=4−(−4)2=4a=N. Maksimum−N. Minimum2=4−(−4)2=4
Pada saat nilai x=180∘x=180∘, fungsi kembali bernilai 00, lalu berulang kembali seperti sebelumnya, sehingga periodenya adalah 180∘180∘, dan akibatnya
k=360∘180∘=2k=360∘180∘=2
Jadi, rumus fungsi f(x)=4sin2xf(x)=4sin2x dengan batas interval 0∘≤x≤270∘
19. Fungsi yang sesuai dengan grafik berikut adalah?
Pembahasan:
Beranjak dari grafik sinus: karena kurva bergeser (ke kiri) sejauh π2, maka bentuk umum grafik fungsinya adalah f(x)= y = a sin k(x−c).
Untuk grafik ini, nilai c yang menentukan pergeseran kurva adalah −π2 (tandanya negatif, karena grafik bergeser ke kiri).
Dimulai dari titik x =−π2 yang nilai fungsinya 0, grafik fungsi kembali bernilai 0 dan berulang kembali di titik x =3π2, sehingga periode grafik fungsinya adalah 3π2–(−π2)=2π.
Dengan demikian,
k = 2π Periode = 2π
2π =1
Nilai a ditentukan oleh nilai maksimum dan nilai minimum fungsi, yakni
a=N. Maksimum−N. Minimum2=2−(−2)2=2
Jadi, rumus grafik fungsinya adalah f(x)=2sin1(x+π2)=2sin(x+π2)
Untuk grafik ini, nilai c yang menentukan pergeseran kurva adalah −π2 (tandanya negatif, karena grafik bergeser ke kiri).
Dimulai dari titik x =−π2 yang nilai fungsinya 0, grafik fungsi kembali bernilai 0 dan berulang kembali di titik x =3π2, sehingga periode grafik fungsinya adalah 3π2–(−π2)=2π.
Dengan demikian,
k = 2π Periode = 2π
2π =1
Nilai a ditentukan oleh nilai maksimum dan nilai minimum fungsi, yakni
a=N. Maksimum−N. Minimum2=2−(−2)2=2
Jadi, rumus grafik fungsinya adalah f(x)=2sin1(x+π2)=2sin(x+π2)
20. sebuah kapal berlayar dari pelabuhan A Ke pelabuhan B dengan kecepatan 40 km/jam
selama 2 jam dengan arah 30°, kemudian melanjutkan perjalanan dari pelabuhan B menuju pelabuhan C dengan kecepatan 60 km/jam selama 2-5 jam dengan arah 150°. buatlah sketsa perjalanan kapal dan tentukan jarak antara pelabuhan A dan C!
selama 2 jam dengan arah 30°, kemudian melanjutkan perjalanan dari pelabuhan B menuju pelabuhan C dengan kecepatan 60 km/jam selama 2-5 jam dengan arah 150°. buatlah sketsa perjalanan kapal dan tentukan jarak antara pelabuhan A dan C!
Pembahasan:
Jarak = kecepatan x waktu
Jarak pelabuhan A ke B adalah 40 x 2 = 80 km
Jarak pelabuhan B ke C adalah 60 x 2,5 = 150 km
Besar sudut ABC adalah 30° + 30° = 60°
Gunakan aturan cosinus untuk mencari AC
AC² = AB² + BC² - [2 x AB x BC x cos ∠ABC]
AC² = 80² + 150² - [2 x 80 x 150 x cos 60°]
AC² = 28.900 - [2 x 80 x 150 x ¹/₂]
AC² = 28.900 - 12.000
AC = √ 16.900
Diperoleh jarak antara pelabuhan A dan C sejauh 130 km
Comments
Post a Comment